Question

（2012•豐臺區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在原點，焦點F₁，F₂在x軸上，焦距為2

2

，P是橢圓上一動點，△PF₁F₂的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點M（1，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點N，若

NA

=λ1

AM

，

NB

=λ2

BM

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程，利用焦距為2

2

，求得c的值，根據當點P在短軸的頂點時，P到F₁F₂的距離最大，所以此時△PF₁F₂的面積最大為2，建立方程，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓方程聯立，利用

NA

=λ1

AM

，

NB

=λ2

BM

，用A，B的橫坐標表示λ₁，λ₂，從而可得結論．

解答：（Ⅰ）解：設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
因為焦距為2

2

，所以c=

2

．
當點P在短軸的頂點時，P到F₁F₂的距離最大，所以此時△PF₁F₂的面積最大，
所以S△PF1F2=

1

2

•2c•b=2，所以b=

2

．
因為a²=b²+c²=4，所以a²=4，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．                  …（5分）
（Ⅱ）證明：依題意，直線l的斜率存在，可設為k，則直線l：y=k（x-1）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

x2+2y2-4=0 y=k(x-1)

消y得 （2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
顯然△＞0，且 x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-4

2k2+1

．
因為直線l交y軸于點N，所以N（0，-k）．
所以

AM

=(1-x1，-y1)，

NA

=(x1，k+y1)，且

NA

=λ1

AM

所以x₁=λ₁（1-x₁），所以λ1=

x1

1-x1

，
同理λ2=

x2

1-x2

．
所以 λ1+λ2=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

(x1+x2)-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=-

8

3

．
即λ₁+λ₂為定值是-

8

3

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．