Question

20．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-{sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若0＜α＜π，且$f（\frac{α}{2}）=\frac{1}{2}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的最大值．
（2）根據(jù)$f（\frac{α}{2}）=\frac{1}{2}$，化簡求解即可得α的值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-{sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$（x∈R）．
化簡可得：f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x$-\frac{1}{2}$
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$，
∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）由（1）可得f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$），即sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
α+$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{6}$或α+$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{5π}{6}$
∵0＜α＜π，
∴α=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題