Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與g（x）=e^x的圖象上存在關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（　�。�

• A． [1，e+$\frac{1}{e}$]
• B． [1，e-$\frac{1}{e}$]
• C． [e-$\frac{1}{e}$，e+$\frac{1}{e}$]
• D． [e-$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與g（x）=e^x的圖象上存在關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)，則函數(shù)f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與函數(shù)h（x）=lnx的圖象有交點(diǎn)，即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，利用導(dǎo)數(shù)法，可得實(shí)數(shù)a取值范圍．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
與g（x）=e^x的圖象上存在關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
與函數(shù)h（x）=lnx的圖象有交點(diǎn)，
即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
即a=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
令y=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e），
則y′=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)1＜x≤e時(shí)，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
故x=1時(shí)，函數(shù)取最小值1，
當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)取最大值e+$\frac{1}{e}$，
故實(shí)數(shù)a取值范圍是[1，e+$\frac{1}{e}$]，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔．