Question

設(shè)函數(shù)y=x²+（a+1）²+|x+a-1|（a∈R）．
（1）若a為大于2的常數(shù)，求函數(shù)y的最小值；
（2）若函數(shù)y的最小值大于3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先去掉絕對(duì)值，分別求函數(shù)的最小值，然后比較大小即可得函數(shù)的最小值；
（2）像（1）一樣分別讓最小值大于3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=y=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，(x＞1-a) (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，(x≤1-a

，
因?yàn)閍＞2，所以1-a＜-1，
當(dāng)x＞1-a時(shí)，y_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

，
當(dāng)x≤1-a時(shí)，y_min=f（1-a）=2+2a²，
又2+2a²-[（a+1）²+a-

5

4

]=（a-

3

2

）²≥0，
∴2+2a²≥（a+1）²+a-

5

4

，
∴a為大于2的常數(shù)，函數(shù)y的最小值為（a+1）²+a-

5

4

，
（2）設(shè)f（x）=y=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，(x＞1-a) (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，(x≤1-a

，
∴當(dāng)x≥1-a時(shí)，即x=-

1

2

，此時(shí)a≥

3

2

，y_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

＞3，解得：a＜-

3+ 22

2

或a＞

-3+ 22

2

；
∴a≥

3

2

，

當(dāng)x＜1-a時(shí)，即x＜1-a，此時(shí)a＜

1

2

，y_min=f（

1

2

）=（a+1）²-a+

3

4

＞3，解得：a＜-

1+ 6

2

或a＞

-1+ 6

2

，
∴a＜-

1+ 6

2

綜上：a＜-

1+ 6

2

或a≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題，借助二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性求解．