Question

記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出a₁=1，d=1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由已知條件得：

a1+a2+a3+a4=10 a2+a4=6

，
∴

4a1+6d=10 2a1+4d=6

，
解得a₁=1，d=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．（4分）
（Ⅱ）∵b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2²（1-2）+2³（2-3）+…+2ⁿ[（n-1）-n]+n×2ⁿ⁺¹-2
=-（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n×2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n×2n+1
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．