Question

設(shè)關(guān)于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|α＜x＜β，α＞0}用α、β表示關(guān)于x的不等式cx²-bx+a＞0的解集．

Answer 1

分析：由不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|α＜x＜β，α＞0}我們易得a＞0，c＞0，我們易給出不等式cx²-bx+a＞0的解集的形式，結(jié)合韋達(dá)定理，我們求出方程cx²-bx+a=0的兩個(gè)根，即可得到不等式cx²-bx+a＞0的解集

解答：解：∵關(guān)于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|α＜x＜β，α＞0}
我們易得α+β=-

b

a

＞0，α•β=

c

a

＞0，
且a，c同號(hào)，則a＞0，c＞0
則b=-a（α+β），c=a（α•β），
設(shè)m，n為不等式cx²-bx+a＞0的解集．
則m+n=

b

c

=-

α+β

α•β

=（-

1

α

）+（-

1

β

）
m•n=

a

c

=

1

α•β

=（-

1

α

）•（-

1

β

）
即-

1

α

，-

1

β

為方程cx²-bx+a=0的兩個(gè)根
又由0＜α＜β，
∴-

1

α

＜-

1

β

故不等式cx²-bx+a＞0的解集為（-∞，-

1

α

）∪（-

1

β

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次不等式的應(yīng)用，三個(gè)二次之間的辯證關(guān)系，其中根據(jù)x的不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|α＜x＜β，α＞0}判斷a＞0，c＞0，進(jìn)而確定不等式cx²-bx+a＞0的解集的形式是解答本題的關(guān)鍵．