Question

10．若曲線y=$\sqrt{4-{x^2}}$+1與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{5}{12}，\frac{3}{4}}]$
• B． $[{\frac{5}{12}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{5}{12}}]$
• D． $（{\frac{1}{3}，\frac{1}{4}}]$

Answer 1

分析 先確定曲線的性質(zhì)，然后結(jié)合圖形確定臨界狀態(tài)，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)，可解得k的取值范圍．

解答 解：y=$\sqrt{4-{x^2}}$+1可化為x²+（y-1）²=4，y≥1，所以曲線為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓y≥1的部分．
直線y=k（x-2）+4過(guò)定點(diǎn)p（2，4），由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（-2，1）點(diǎn)時(shí)恰與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與曲線相切時(shí)交點(diǎn)變?yōu)橐粋�(gè)．
且k_AP=$\frac{4-1}{2+2}$=$\frac{34}{\;}$，由直線與圓相切得d=$\frac{|-1+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$\frac{5}{12}$，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，是個(gè)基礎(chǔ)題．