Question

18．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BB₁，DD₁的中點(diǎn)．
（ I）證明：平面AED∥平面B₁FC₁；
（ II）在AE上求一點(diǎn)M，使得A₁M⊥平面DAE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB、AD、AA₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，
求出平面AED和平面B₁FC₁的法向量，利用向量共線證明兩平面平行；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AE}$，利用A₁M⊥平面DAE，得出$\overrightarrow{{A}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{AE}$，由數(shù)量積為0求出λ的值即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
不妨設(shè)正方體的棱長為2，
則A（0，0，0），E（2，0，1），D（0，2，0），
F（0，2，1），B₁（2，0，2），C₁（2，2，2）；
設(shè)平面AED的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2y}_{1}=0}\\{{2x}_{1}{+z}_{1}=0}\end{array}\right.$
令x₁=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，2），
同理可得平面B₁FC₁的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，2）；
∴平面AED∥平面B₁FC₁；
（Ⅱ）由于點(diǎn)M在AE上，∴可設(shè)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AE}$=λ（2，0，1）=（2λ，0，λ），
可得M（2λ，0，λ），
于是$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（2λ，0，λ-2）；
要使A₁M⊥平面DAE，需A₁M⊥AE，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}M}$•$\overrightarrow{AE}$=（2λ，0，λ-2）•（2，0，1）=5λ-2=0，
解得λ=$\frac{2}{5}$；
故當(dāng)AM=$\frac{2}{5}$AE時，A₁M⊥平面DAE．

點(diǎn)評 本題考查了空間中的平行于垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時利用空間向量進(jìn)行解答，是綜合性題目．