Question

5．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=AA₁，∠CAB=90°，M、N分別是AA₁和AC的中點．
（1）求證：MN⊥BC₁
（2）求直線MN與平面BCC₁B₁所成角．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C、AC₁，證明A₁C⊥平面ABC₁，利用A₁C∥MN，即可證明MN⊥BC₁
（2）取C₁B₁的中點D，連接CD，求出∠A₁CD=30°，即可求直線MN與平面BCC₁B₁所成角．

解答 （1）證明：連接A₁C、AC₁
在平面AA₁C₁C內(nèi)，∵AA₁⊥平面ABC，AA₁=AC
∴A₁C⊥AC₁
又∵∠CAB=90°即AB⊥AC、AA₁⊥AB
且 AA₁∩AC=A∴AB⊥平面AA₁C₁C
又∵A₁C在平面AA₁C₁C內(nèi)
∴A₁C⊥AB
又∵AB∩AC₁=A，∴A₁C⊥平面ABC₁
又∵BC₁在平面ABC₁內(nèi)
∴A₁C⊥BC₁
又∵M，N分別是AA₁和AC的中點．∴A₁C∥MN，∴MN⊥BC₁．
（2）解：取C₁B₁的中點D，連接CD
∵A₁B₁=A₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁
又∵CC₁∥AA₁，AA₁⊥平面ABC
∴CC₁⊥平面ABC，即CC₁平面A₁B₁C₁，
又∵A₁D在平面A₁B₁C₁內(nèi)
∴A₁D⊥CC₁且CC₁∩C₁B₁=C，CD在平面CBB₁C₁內(nèi)，∴A₁D⊥CD
∴cos∠A₁CD=$\frac{CD}{{{A_1}C}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠A₁CD=30°，
又∵MN∥A₁C
即MN與平面BCC₁B₁所成角為30°

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．