Question

（2012•昌圖縣模擬）設(shè)曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，l）處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+log₂₀₁₃ x₃+…+log₂₀₁₃ x₂₀₁₁+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值為（　�。�

A．-log₂₀₁₃2012

B．-1

C．（log₂₀₁₃2012）-l

D．1

Answer 1

分析：先求曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)方程，從而得出切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，再求相應(yīng)的函數(shù)值．

解答：解：∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，當(dāng)x=1時(shí)，y′=n+1，即切線(xiàn)的斜率為：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）處的切線(xiàn)方程為y-1=（n+1）（x-1），令y=0可得x=

n

n+1

，
即該切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n=

n

n+1

，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log2013

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2012

2013

=
log2013

1

2013

=-1，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)利用了對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)求出函數(shù)，屬中檔題．