Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形，E是BC的中點．
（I）求證：AE∥平面PCD
（II）證明：平面PCD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD∥CE，且AD=CE，推出AE∥CD，然后證明AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）連接DE，設(shè)AE交BD于O，連PO，證明AE⊥平面PBD，因為AE∥CD，所以CD⊥平面PBD，即可證明平面PCD⊥平面PBD．

解答 證明：（Ⅰ）因為∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E 是BC的中點．
所以AD∥CE，且AD=CE
所以四邊形ADCE是平行四邊形，
所以AE∥CD，
AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）連接DE，設(shè)AE交BD于O，連PO，
則AEFD是正方形，所以AE⊥BD，
因為PD=PB=2，O是BD中點，所以PO⊥BD，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{PA=PB}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，∴△POA≌△PBD，∴∠POA=∠PBD=90°，
即AE⊥PO，
因為BD∩PO=O，所以AE⊥平面PBD，
因為AE∥CD，所以CD⊥平面PBD，
又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PBD．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查線面、面面垂直的證明，考查空間想象能力以及計算能力．