Question

17．已知x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，若2x+y＞m²+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1-$\sqrt{10}$）
• B． $（-1-\sqrt{10}，-1+\sqrt{10}）$
• C． $[{-1+\sqrt{10}，+∞}）$
• D． $[{-1-\sqrt{10}，-1+\sqrt{10}}]$

Answer 1

分析 先把2x+y轉(zhuǎn)化為2x+y=（2x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）展開后利用基本不等式求得其最小值，然后根據(jù)2x+y＞m²+2m恒成立求得m²+2m＜9，進(jìn)而求得m的范圍．

解答 解：∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，
∴2x+y=（2x+y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=4+1+$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{2x}{y}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取等號(hào)，
∵2x+y＞m²+2m恒成立，
∴m²+2m＜9，
解得-1-$\sqrt{10}$＜x＜-1+$\sqrt{10}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．