Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中點(diǎn)．
（1）求直線EC與平面PAD所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求三棱錐P-AFD的體積．

Answer 1

分析 （1）解法一：分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的法向量，然后利用向量的數(shù)量積求解直線EC與平面PAD所成的角．
解法二：取PA中點(diǎn)G，CD中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EG、GH、GD說(shuō)明∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角，然后在Rt△GHD中，求解即可．
（2）解法一：由（1）解法一的建系得，求出平面AFD的法向量，點(diǎn)P到平面AFD的距離為d，
求出底面面積與d，然后求解體積．
解法二：說(shuō)明PE即為三棱錐P-AFD底面上的高，求出高，求出${S_{△AFD}}=2\sqrt{2}$，即可求解體積．
解法三：利用V_P-AFD=V_F-PAD=V_E-PAD=V_D-PAE，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）解法一：分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），
∴E（1，0，1），F(xiàn)（1，2，1），$\overrightarrow{EC}=（1，4，-1）$，（2分）
又∵AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量為$\overrightarrow n=\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，（4分）
設(shè)直線EC與平面PAD所成的角為α，則$sinα=\frac{{|{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow n}|}}{{|\overrightarrow{EC}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{2}{{\sqrt{18}•2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，（6分）
∴直線EC與平面PAD所成的角為$arcsin\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．（7分）
解法二：∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
取PA中點(diǎn)G，CD中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EG、GH、GD，則EG∥AB∥CD且$EG=\frac{1}{2}AB=1$，∴EGHC是平行四邊形，

∴∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角．（3分）
在Rt△GAD中，$GD=\sqrt{{1^2}+{4^2}}=\sqrt{17}$，
在Rt△GHD中，$tan∠HGD=\frac{HD}{GD}=\frac{1}{{\sqrt{17}}}=\frac{{\sqrt{17}}}{17}$，（6分）
∴直線EC與平面PAD所成的角為$arctan\frac{{\sqrt{17}}}{17}$．（7分）
（2）解法一：由（1）解法一的建系得，$\overrightarrow{AF}=（1，2，1）$，$\overrightarrow{AD}=（0，4，0）$，
設(shè)平面AFD的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，點(diǎn)P到平面AFD的距離為d，
由$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0$得x+2y+z=0且4y=0，
取x=1得$\overrightarrow n=（1，0，-1）$，（9分）
∴$d=\frac{{|{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，（11分）
又$|{\overrightarrow{AF}}|=|{\overrightarrow{FD}}|=\sqrt{6}$，∴${S_{△AFD}}=2×\sqrt{6-4}=2\sqrt{2}$，（13分）
∴${V_{P-AFD}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．（14分）
解法二：易證PE即為三棱錐P-AFD底面上的高，且$|{PE}|=\sqrt{2}$，（11分）
底面△AFD邊AD上的高等于AE，且$|{AE}|=\sqrt{2}$，∴${S_{△AFD}}=2\sqrt{2}$（13分）${V_{P-AFD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．（14分）
解法三：依題意，EF∥平面PAD，∴V_P-AFD=V_F-PAD=V_E-PAD=V_D-PAE（11分）${V_{D-PAE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×|{PA}|×|{AB}|×|{AD}|=\frac{1}{12}×2×2×4=\frac{4}{3}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．