Question

9．宏利重工有限公司從2012年起，若不改善生產環(huán)境，按現(xiàn)狀生產，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后每月遞增2萬元的處罰．如果從2012年一月起投資400萬元增加回收凈化設備以改善生產環(huán)境（改造設備時間不計）．按測算，新設備投產后的月收入與時間的關系如圖所示．
（1）設f（n）表示投資改造后的前n個月的總收入，請寫出f（n）的函數(shù)關系式；
（2）試問：經(jīng)過多少個月，投資開始見效，也就是說，投資改造后的月累計純收入多于不改造時的月累計純收入？

Answer 1

分析 （1）a_i表示第i個月的收入，則由圖可得數(shù)列的前5項是公差為2的等差數(shù)列，第6項開始是常數(shù)列，從而求出投資改造設備后，累計收入f（n）與生產時間n的函數(shù)表達式；
（2）先比較改造設備后前5個月的純收入與不改造設備前5個月的純收入可知5個月內投資不能見成效，然后根據(jù)投資改造設備后的純收入多于不改造設備時的純收入建立關系式，解之即可．

解答 解：（1）a_i表示第i個月的收入，則由圖可得數(shù)列的前5項是公差為2的等差數(shù)列，第6項開始是常數(shù)列．
∴f（x）=n²+100n（n≤5，n∈N）．…（4分）
當n＞5，n∈N時，
f（n）=525+（n-5）[525-416]=109n-20．…（7分）
∴f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+100n，1≤n≤5，n∈N}\\{109n-20，n＞5，n∈N}\end{array}\right.$…（8分）
（2）改造設備后前5個月的純收入：5²+100×5-400=125，
不改造設備前5個月的純收入：70×5-[1+3+5+7+9]=325，
∵125＜325，
∴5個月內投資不能見成效，…（10分）
當n＞5，n∈N時，109n-20-400＞$70n-[n+\frac{n（n-1）}{2}×2]$，
化簡，得n²+39n-420＞0，…（13分）
當5＜n≤8時，n²+39n-420＜0，
當n≥9時，n²+39n-420＞0．
即至少經(jīng)過9個月，投資改造設備后的純收入才能多于不改造設備時的純收入．

點評 本題主要考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)模型的選擇與應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．