Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且有S_n=1-a_n（n∈N^*），點(diǎn)（a_n，b_n）在直線y=nx上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求T_n；
（3）試比較T_n和2-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$的大小，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（2）由點(diǎn)（a_n，b_n）在直線y=nx上，可得b_n=na_n．b_n=$n•（\frac{1}{2}）^{n}$．利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（3）作差比較大小即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1-a₁，解得：${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），
化為2a_n=a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以${a}_{1}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$（n∈N^*）．
（2）∵點(diǎn)（a_n，b_n）在直線y=nx上，
∴b_n=na_n．
∴b_n=$n•（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴T_n=$\frac{1}{2}+2•（\frac{1}{2}）^{2}+3×（\frac{1}{2}）^{3}$+…+$n•（\frac{1}{2}）^{n}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$（\frac{1}{2}）^{2}$+2$•（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n}+n•（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}$-n$•（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n$•（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
（3）令B_n=2-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，則T_n-B_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}-\frac{n+2}{{2}^{n}}$=$\frac{（n-2）（n+1）}{{2}^{n}}$．
當(dāng)n=1時(shí)，T₁＜B₁；
當(dāng)n=2時(shí)，T₂=B₂；
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞B_n．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、“作差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．