Question

6．設(shè)拋物線y²=4x的焦點為F，P為拋物線上一點（在第一象限內(nèi)），若以PF為直徑的圓的圓心在直線x+y=2上，則此圓的半徑為1．

Answer 1

分析 由拋物線的方程求出焦點坐標，設(shè)出P的坐標，利用中點坐標公式求PF的中點，把中點坐標代入直線x+y=2求得P的坐標，再由兩點間的距離公式求圓的半徑．

解答 解：如圖，

由拋物線y²=4x，得其焦點F（1，0），
設(shè)P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}$）（y₀＞0），則PF的中點為（$\frac{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}+1}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}$）=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}，\frac{{y}_{0}}{2}$），
由題意可知，點（$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}，\frac{{y}_{0}}{2}$）在直線x+y=2上，
∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}+\frac{{y}_{0}}{2}=2$，解得：y₀=2．
∴P（1，2），
則圓的半徑為$\frac{1}{2}|PF|=\frac{1}{2}\sqrt{（1-1）^{2}+（2-0）^{2}}=1$．
故答案為：1．

點評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識．考查了考生對基礎(chǔ)知識的綜合運用和知識遷移的能力，是中檔題．