Question

7．如圖菱形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∠BAD=120°，沿EF將平面AEF折起形成一個(gè)五棱錐A-BCDFE．
（1）證明：EF⊥AC；
（2）當(dāng)翻折形成的五棱錐體積最大時(shí)，取CD中點(diǎn)M，求二面角M-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明EF⊥平面AHC即可．
（3）當(dāng)翻折形成的五棱錐體積最大時(shí)，即AH⊥平面BCDE，建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-AE-F的余弦值．

解答 （1）證明：連接AC交BC于O，交EF于H，
∵ABCD是菱形，
∴EF⊥AH，EF⊥HC，
∵AH∩HC=H，
∴EF⊥平面AHC，
∵AC?平面AHC，
∴EF⊥AC；
（2）當(dāng)翻折形成的五棱錐體積最大時(shí)，則五棱錐的高最大即可，
即AH⊥平面BCDE，建立以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HE，HC，HA分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵菱形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∠BAD=120°，
∴H（0，0，0）A（0，0，1），E（$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（-$\sqrt{3}$，0，0），C（0，3，0），M（-$\sqrt{3}$，2，0），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），$\overrightarrow{EM}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，0，-1），
則平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)平面MAE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-z=0}\\{-2\sqrt{3}x+2y=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，則y=z=3，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，3），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3+9+9}}=\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
即二面角M-AE-F的余弦值是$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．