Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*，則a_n=n²．

Answer 1

分析 化簡可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，從而證明{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而求得．

解答 解：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）1=n，
故a_n=n²，
故答案為：n²．

點評 本題考查了等差數(shù)列的判斷與應(yīng)用，同時考查了構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題．