Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，B={0，1，2，3}，f是從A到B的映射．
（1）若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個(gè)？
（2）若B中的元素0必?zé)o原象，這樣的f有多少個(gè)？
（3）若f滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=4，這樣的f又有多少個(gè)？

Answer 1

分析：（1）顯然對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的，即為a₁找象有4種方法，a₂找象有3種方法，a₃找象有2種方法，a₄找象有1種方法，最后利用乘法原理即可求得不同的f有多少個(gè)；
（2）分析可知：0必?zé)o原象，1，2，3有無(wú)原象不限，所以為A中每一元素找象時(shí)都有3種方法．利用乘法原理即可求得不同的f有多少個(gè)；
（3）先進(jìn)行分類討論：第一類，A中每一元素都與1對(duì)應(yīng)，有1種方法；第二類，A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有12種方法；第三類，A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0，有6種方法；第四類，A中有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3，另兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有12種方法．利用加法原理即可求得不同的f有多少個(gè)；

解答：解：（1）顯然對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的，即為a₁找象有4種方法，a₂找象有3種方法，a₃找象有2種方法，a₄找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1=24（個(gè)）．
（2）0必?zé)o原象，1，2，3有無(wú)原象不限，所以為A中每一元素找象時(shí)都有3種方法．所以不同的f共有3⁴=81（個(gè)）．
（3）分為如下四類：
第一類，A中每一元素都與1對(duì)應(yīng)，有1種方法；
第二類，A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有12種方法；
第三類，A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0，有6種方法；
第四類，A中有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3，另兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有12種方法．
所以不同的f共有1+12+6+12=31（個(gè)）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的定義，像與原像的定義，讓學(xué)生不僅會(huì)求指定元素象與原象，而且明確求象與原象的方法．