【題目】已知動圓與圓
:
相切,且與圓
:
相內切,記圓心
的軌跡為曲線
.設
為曲線
上的一個不在
軸上的動點,
為坐標原點,過點
作
的平行線交曲線
于
,
兩個不同的點.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)試探究和
的比值能否為一個常數?若能,求出這個常數,若不能,請說明理由;
(Ⅲ)記的面積為
,
的面積為
,令
,求
的最大值.
【答案】(1)圓心的軌跡
:
;
(2)和
的比值為一個常數,這個常數為
;
(3)當時,
取最大值
.
【解析】試題分析:(1)根據兩圓相切得圓心距與半徑之間關系: ,消去半徑得
,符合橢圓定義,由定義可得軌跡方程(2)探究問題,實質是計算問題,即利用坐標求
和
的比值:根據直線方程與橢圓方程聯立方程組,利用兩點間距離公式及韋達定理、弦長公式可得
和
的表達式,兩式相比即得比值
(3)因為
的面積
的面積,所以
,利用原點到直線距離得三角形的高,而底為弦長MN(2中已求),可得面積表達式,為一個分式函數,結合變量分離法(整體代換)、基本不等式求最值
試題解析:解:(1)設圓心的坐標為
,半徑為
,
由于動圓一圓
相切,且與圓
相內切,所以動圓
與圓
只能內切
∴
∴圓心的軌跡為以
為焦點的橢圓,其中
,
∴
故圓心的軌跡
.
(2)設,直線
,則直線
,
由可得:
,∴
,
∴
由可得:
,
∴,
∴
.
∴
∴和
的比值為一個常數,這個常數為
.
(3)∵,∴
的面積
的面積,∴
,
∵到直線
的距離
,
∴.1
令,則
,
,
∵(當且僅當
,即
,亦即
時取等號)
∴當時,
取最大值
.1
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【題目】在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA= acosB. (Ⅰ)求角B的大�。�
(Ⅱ)若b=3,sinC=2sinA,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,四邊形是梯形.四邊形
是矩形.且平面
平面
,
,
,
,
是線段
上的動點.
(Ⅰ)試確定點的位置,使
平面
,并說明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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【題目】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為:弧田面積= (弦×矢+矢2).弧田,由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差,按照上述經驗公式計算所得弧田面積與實際面積之間存在誤差.現有圓心角為
π,弦長等于9米的弧田.按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得弧田面積與實際面積的差為 .
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【題目】已知函數f(x)=sin(ωx+φ)﹣b(ω>0,0<φ<π)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是 ,若將f(x)的圖象先向右平移
個單位,再向上平移
個單位,所得函數g(x)為奇函數.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的對稱軸及單調區(qū)間;
(3)若對任意x∈[0, ],f2(x)﹣(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形
是直角梯形,
,
,
底面
,
,
,
是
的中點.
(1)求證:平面平面
;
(2)若二面角的余弦值為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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【題目】為了了解某地高一學生的體能狀況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試,將所得數據整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右各小長方形的面積之比為2:4:17:15:9:3,第二小組頻數為12.
(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?
(2)若次數在110以上為達標,試估計全體高一學生的達標率為多少?
(3)通過該統計圖,可以估計該地學生跳繩次數的眾數是 , 中位數是 .
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