Question

17．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=$\frac{π}{2}$，DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，以直線AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的都如圖所示的幾何體
（Ⅰ）求幾何體的表面積
（Ⅱ）判斷在圓A上是否存在點(diǎn)M，使二面角M-BC-D的大小為45°，且∠CAM為銳角若存在，請(qǐng)求出CM的弦長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知該旋轉(zhuǎn)體下半部分是一個(gè)圓錐，上半部分是一個(gè)圓臺(tái)中間挖空一個(gè)圓錐而剩下的幾何體，求出它的表面積即可；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，連結(jié)FM，說明∠MFE為二面角M-BC-D的平面角，設(shè)∠CAM=θ，通過tan∠MFE=1求出$sin\frac{θ}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，然后求解CM．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得；
該旋轉(zhuǎn)體的下半部分是一個(gè)圓錐，
上半部分是一個(gè)圓臺(tái)中間挖空一個(gè)圓錐而剩下的幾何體，
其表面積為S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$×2=8$\sqrt{2}$π，
或S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×（4π×2$\sqrt{2}$-2π×$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×2π×$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，連結(jié)FM，易證FM⊥BC，
∴∠MFE為二面角M-BC-D的平面角，
設(shè)∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=$\sqrt{2}（1-cosθ）$，
∵tan∠MFE=1，∴$\frac{2sinθ}{\sqrt{2}（1-cosθ）}=1$，∴tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$sin\frac{θ}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CM=2$•2sin\frac{θ}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算問題，也考查了空間想象能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．