Question

8．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱DD₁⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且AD=AA₁．
（Ⅰ）求證：CD₁∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁；
（Ⅲ）若點E為棱AB上的一個動點，求證：A₁D⊥D₁E．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明CD₁∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可在證明平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁；
（Ⅲ）根據(jù)線面垂直的性質證明A₁D⊥面ABD₁，即可證明A₁D⊥D₁E．

解答 （Ⅰ）證明：連結A₁B，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=B₁C₁，
BC∥B₁C₁，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁，
所以A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，
則四邊形A₁BCD₁為平行四邊形．
所以CD₁∥A₁B…（2分）
又CD₁?面ABB₁A₁，A₁B?面ABB₁A₁
所以CD₁∥面ABB₁A₁…（3分）
（Ⅱ）證明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
DD₁⊥面ABCD，BC?面ABCD，
所以DD₁⊥BC．
因為底面ABCD是矩形，
所以CD⊥BC．
又DD₁∩DC=D
所以BC⊥平面DCC₁D₁，．
又BC?面BCD₁
所以平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁   …（6分）
（Ⅲ）證明：連結AD₁在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有DD₁⊥面ABCD
所以DD₁⊥AB．因為底面ABCD為矩形，
所以AD⊥AB．
又AD∩DD₁=D，
所以AB⊥面ADD₁A₁．所以AB⊥A₁D （8分）
又AD=AA₁，所以A₁D⊥AD₁因為A₁D∩AB=A，
所以A₁D⊥面ABD₁，…（9分）
又點E為棱AB上的一個動點，所以D₁E?平面ABD₁
所以A₁D⊥D₁E，．…（10分）

點評 本題主要考查線面平行和面面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．