Question

20．某學(xué)習(xí)興趣小組開展“學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的關(guān)系”的課題研究，對(duì)該校高二年級(jí)800名學(xué)生上學(xué)期期末語(yǔ)文和英語(yǔ)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀進(jìn)行分類．記集合A={語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生}，B={英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生}．如果用card（M）表示有限集合M中元素的個(gè)數(shù)．已知card（A∩B）=60，card（A∩C_UB）=140，card（C_UA∩B）=100，其中U表示800名學(xué)生組成的全集．
（Ⅰ）是否有99.9%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀與否有關(guān)系”；
（Ⅱ）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，從該校高二年級(jí)的學(xué)生成績(jī)中，有放回地隨機(jī)抽取3次，記所抽取的成績(jī)中，語(yǔ)文英語(yǔ)兩科成績(jī)中至少有一科優(yōu)秀的人數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得列聯(lián)表，可計(jì)算K²≈16.667＞10.828，可得結(jié)論；
（Ⅱ）可得語(yǔ)文、外語(yǔ)兩科成績(jī)至少一科為優(yōu)秀的頻率是$\frac{3}{8}$，則X～B（3，$\frac{3}{8}$），P（X=k）=${C}_{8}^{k}$（$\frac{3}{8}$）^k（$\frac{5}{8}$）^8-k，k=0，1，2，3，計(jì)算可得各個(gè)概率，可得分布列，進(jìn)而可得期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意得列聯(lián)表：

	語(yǔ)文優(yōu)秀	語(yǔ)文不優(yōu)秀	總計(jì)
英語(yǔ)優(yōu)秀	60	100	160
英語(yǔ)不優(yōu)秀	140	500	640
總計(jì)	200	600	800

因?yàn)镵²=$\frac{800（60×500-100×140）2}{160×640×200×600}$≈16.667＞10.828，
所以有99.9%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀與否有關(guān)系”． …（6分）
（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科成績(jī)至少一科為優(yōu)秀的頻率是$\frac{3}{8}$．
則X～B（3，$\frac{3}{8}$），P（X=k）=${C}_{8}^{k}$（$\frac{3}{8}$）^k（$\frac{5}{8}$）^8-k，k=0，1，2，3．
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{512}$	$\frac{225}{512}$	$\frac{135}{512}$	$\frac{27}{512}$

E（X）=3×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{8}$．                     …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬中檔題．