Question

14．如圖1，菱形ABCD的邊長為12，∠BAD=60°，AC與BD交于O點．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=6$\sqrt{2}$．

（ I）求證：平面ODM⊥平面ABC；
（ II）求二面角M-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出OD⊥AC，DO⊥OM，從而OD⊥面ABC，由此能證明平面ODM⊥平面ABC．
（Ⅱ）由OD⊥OC，OB⊥OC，OB⊥OD，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-AD-C的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，OD⊥AC，
△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，
∴OD=6，
又M是BC中點，∴$OM=\frac{1}{2}AB=6，MD=6\sqrt{2}$，
∵OD²+OM²=MD²，∴DO⊥OM，
∵OM，AC?面ABC，OM∩AC=O，
∴OD⊥面ABC，
又∵OD?平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…（6分）
解：（Ⅱ）由題意，OD⊥OC，OB⊥OC，
又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如圖所示空間直角坐標系，
由條件知：$D（{6，0，0}），A（{0，-6\sqrt{3}，0}），M（{0，3\sqrt{3}，3}）$
故$\overrightarrow{AM}=（{0，9\sqrt{3}，3}），\overrightarrow{AD}=（{6，6\sqrt{3}，0}）$，
設平面MAD的法向量$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
則 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AM}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}9\sqrt{3}y+3z=0\\ 6x+6\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，令$y=-\sqrt{3}$，則x=3，z=9
∴$\overrightarrow m=（{3，-\sqrt{3}，9}）$
由條件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量為$\overrightarrow n=（{0，0，1}）$
所以，$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{3\sqrt{93}}}{31}$
由圖知二面角M-AD-C為銳二面角，
故二面角M-AD-C的余弦值為$\frac{{3\sqrt{93}}}{31}$．（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、空間思維能力、運算求解能力，考查等價轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．