Question

4．已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足對任意x∈R都有f（x+1）=f（x）+cosπx，f（-x）=f（x），當0≤x≤1時，f（x）=2^x-1，若函數(shù)F（x）=f（x）-log_a|x|（a＞1）恰有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（3，5）．

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性判斷f（x）的周期，做出f（x）的圖象，根據(jù)F（x）為偶函數(shù)可知y=f（x）與y=log_ax有3個交點，結合圖象列出不等式解出a的范圍．

解答 解：∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．
∵f（x+1）=f（x）+cosπx，∴f（-x+1）=f（-x）+cos（-πx）=f（x）+cosπx，
∴f（-x+1）=f（x+1），
又f（-x+1）=f（x-1），
∴f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）周期為2，
令F（x）=0得f（x）=log_a|x|，
∵函數(shù)F（x）=f（x）-log_a|x|（a＞1）恰有6個零點，
y=f（x），y=log_a|x|是偶函數(shù)，
∴y=f（x）與y=log_ax有3個交點，
做出y=f（x）與y=log_ax的函數(shù)圖象如圖所示：

顯然0＜a＜1時，不符合題意，故a＞1．
由函數(shù)圖象可知$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}3＜1}\\{lo{g}_{a}5＞1}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5．
故答案為：（3，5）．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，函數(shù)周期性與奇偶性的判斷與應用，屬于中檔題．