Question

2．正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE與SD所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則OE∥SD，從而∠AEO是AE與SD所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出AE與SD所成角的余弦值．

解答 解：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，
∵正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點(diǎn)，
∴設(shè)AB=BC=CD=AD=SA=SB=SC=SD=2，
則OE∥SD，且OE=$\frac{1}{2}SD=1$，
∴∠AEO是AE與SD所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AEO=$\frac{A{E}^{2}+O{E}^{2}-A{O}^{2}}{2×AE×EO}$
=$\frac{3+1-2}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AE與SD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．