Question

14．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四邊形BFED為矩形，BF=1，平面BFED⊥平面ABCD．
（1）求證：AD⊥平面BFED；
（2）已知點P在線段EF上，$\frac{EP}{PF}$=2，求三棱錐E-APD的體積．

Answer 1

分析 （1）求出AB=2，BD=$\sqrt{3}$，從而推導出AD⊥BD，再求出DE⊥AD，由此能證明AD⊥平面BFED．
（2）由V_E-APD=V_P-ADE，能求出三棱錐E-APD的體積．

解答 證明：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=1，∠BCD=120°，
∴AB=2，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3，
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD，
又∵平面BFED⊥平面ABCD，四邊形BFED為矩形，
∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，
∴AD⊥平面BFED．
解：（2）由（1）知BD⊥平面ADE，
∵BD∥EF，∴PE⊥平面ADE，且PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴V_E-APD=V_P-ADE=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADE}×PE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴三棱錐E-APD的體積為$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．