Question

2．給出下列命題：
（1）若0＜x＜$\frac{π}{2}$，則sinx＜x＜tanx．
（2）若-$\frac{π}{2}$＜x＜0，則sinx＜x＜tanx．
（3）設(shè)A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC．
（4）設(shè)A，B是鈍角△ABC的兩個(gè)銳角，則sinA＞cosB．
其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單位圓以及三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
（2）利用特殊值法進(jìn)行排除，
（3）根據(jù)正弦定理進(jìn)行判斷
（4）利用特殊值法進(jìn)行排除．

解答 解：（1）設(shè)角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，PB⊥x軸，B為垂足，
單位圓和x軸的正半軸交于點(diǎn)A，AQ⊥x軸，且點(diǎn)Q∈OP，
如圖所示，則|PB|=sinx，$\widehat{PA}$=x，|AQ|=tanx，
由于△POA的面積小于扇形POA的面積，扇形POA的面積小于
△AOQ的面積，
故有$\frac{1}{2}$|OA|•|PB|＜$\frac{1}{2}$$\widehat{PA}$•|OA|＜$\frac{1}{2}$|OA|•|AQ|，即|PB|＜$\widehat{PA}$＜|AQ|，即 sinx＜x＜tanx．故（1）正確，
（2）當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，sinx=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tanx=-1，則sinx＞tanx，則sinx＜x＜tanx不成立，故（2）錯(cuò)誤，
（3）設(shè)A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若A＞B＞C，則a＞b＞c，由正弦定理得sinA＞sinB＞sinC．故（3）正確，
（4）設(shè)A，B是鈍角△ABC的兩個(gè)銳角，當(dāng)C=120°，A=B=30°時(shí)，滿(mǎn)足條件．但sinA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則sinA＞cosB不成立，故（4）錯(cuò)誤，
故正確的是（1）（3），
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及解三角形的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大．