Question

13．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與冪函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象相交于P，且過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)F（-1，0）的直線與函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象相切于P，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)P的坐標(biāo)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義求出a，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（m，$\sqrt{m}$），
則函數(shù)y=f（x）=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
則在P處的切線斜率k=f′（m）=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
則切線方程為y-$\sqrt{m}$=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（x-m），
∵切線過(guò)F（-1，0），
∴-$\sqrt{m}$=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（-1-m），
即2m=1+m，則m=1，即P（1，1），
∵左焦點(diǎn)F（-1，0），∴右焦點(diǎn)F₁（1，0），
則c=1，且2a=|PF|-|PF₁|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+1}$-1=$\sqrt{5}-1$，
則a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$$\frac{2（\sqrt{5}+1）}{5-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率和方程是解決本題的關(guān)鍵．