Question

12．已知函數(shù)f（x）=kxlnx（k≠0）有極小值$-\frac{1}{e}$．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x-2e^x-1，證明：當(dāng)x＞0時，e^xf（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)有極小值$-\frac{1}{e}$，求出k的值即可；
（2）問題等價于證明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞）．由（1）知f（x）=xlnx的最小值，設(shè)G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最大值，只要證明：f_min（x）＞G_max（x）即可．

解答 解：（1）f′（x）=k（lnx+1），
k＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{k}{e}$=-$\frac{1}{e}$，解得：k=1，
k＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，
∴x=$\frac{1}{e}$是極大值點，不合題意，
故k=1；
（2）由（1）得：f（x）=xlnx，從而x＞0時：
問題等價于證明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞）．
由（1）得f（x）=xlnx的最小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時取到，
設(shè)G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），則G′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
易知G_max（x）=G（1）=-$\frac{1}{e}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到，
f（x）取最小值和G（x）取最大值的x的值不相等，
從而可知對一切x∈（0，+∞），都有e^xf（x）＞g（x）成立．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力．