Question

若函數(shù)f（x）=x²-2x+2．
（1）求x∈[0，3]時，求f（x）的最值；
（2）求 x∈[t，t+1]時f（x）的最小值g（t）；
（3）求（2）中函數(shù)g（t）當t∈[-3，-2]時的最值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）直接利用二次函數(shù)的對稱軸以及開口方向，求出函數(shù)的最值即可．
（2）主要是分三種情況（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、之間）討論可得二次函數(shù)的最小值即得g（t）的函數(shù)表達式．
（3）利用（2）再對分段函數(shù)在[-3，-2]求出最值即可得．

解答： 解：（1）函數(shù)的對稱軸為x=1，二次函數(shù)的開口向上，所以函數(shù)的最小值f（1）=1，最大值f（3）=5
（2）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1
①當t+1≤1，即t≤0時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，
∴g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1    …3分
②當t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，g（t）=f（1）=1     …5分
③當t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，
∴g（t）=f（t）=t²-2t+2     …8分
綜上所述，g（t）=

t2+1，t≤0 1，0＜t＜1 t2-2t+2，t≥1

  …10分
當t∈（-∞，0]時，g（t）=t²+1為減函數(shù)，
∴在[-3，-2]上，g（t）=t²+1也為減函數(shù)
∴g（t）_min=g（-2）=5，
g（t）_max=g（-3）=10．   …14分．

點評：本題考點是二次函數(shù)的圖象，考查通過二次函數(shù)的圖象求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求解本題主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，要根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出所研究區(qū)間的單調(diào)性，確定最值在那個位置取到，再求出最值，本題中所給的區(qū)間是一個不定的區(qū)間，故解題時要根據(jù)區(qū)間與對稱軸的位置進行分類討論，主要是分三種情況（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、之間），解題時注意總結(jié)分類討論思想在求解本題中的作用．屬于中檔題．