【題目】如圖,在四棱錐中,已知四邊形是邊長為的正方形,點在底面上的射影為底面的中心點,點在棱上,且的面積為1.

1)若點的中點,求證:平面平面

2)在棱上是否存在一點使得二面角的余弦值為?若存在,求出點的位置;若不存在,說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)存在點符合題意,點為棱靠近端點的三等分點

【解析】

1)利用等腰三角形“三線合一”證明平面,進而證明平面平面;

2)分別以軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用平面的法向量求二面角,進而計算得到即可

(1)∵點在底面上的射影為點,∴平面,

∵四邊形是邊長為的正方形,∴,

三角形的面積為1,∴,,∴,

,的中點,

,同理可得,

又因為,平面,

平面,

平面,

∴平面平面

(2)存在,

如圖,連接,易得兩兩互相垂直,

分別以軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,假設(shè)存在點使得二面角的余弦值為,

不妨設(shè),

∵點在棱上,∴,

,

,

,

,,

設(shè)平面的法向量為,則,,

,可得,∴平面的一個法向量為,

又平面的一個法向量為,二面角的余弦值為,

,即,

解得(舍)

所以存在點符合題意,點為棱靠近端點的三等分點

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甘肅省是土地荒漠化較為嚴(yán)重的省份,一代代治沙人為了固沙、治沙,改善生態(tài)環(huán)境,不斷地進行研究與實踐,實現(xiàn)了沙退人進.年,古浪縣八步沙林場“六老漢”三代人治沙群體作為優(yōu)秀代表,被中宣部授予“時代楷!狈Q號.在治沙過程中為檢測某種固沙方法的效果,治沙人在某一實驗沙丘的坡頂和坡腰各布設(shè)了個風(fēng)蝕插釬,以測量風(fēng)蝕值.(風(fēng)蝕值是測量固沙效果的指標(biāo)之一,數(shù)值越小表示該插釬處被風(fēng)吹走的沙層厚度越小,說明固沙效果越好,數(shù)值為表示該插釬處沒有被風(fēng)蝕)通過一段時間的觀測,治沙人記錄了坡頂和坡腰全部插釬測得的風(fēng)蝕值(所測數(shù)據(jù)均不為整數(shù)),并繪制了相應(yīng)的頻率分布直方圖.

)根據(jù)直方圖估計“坡腰處一個插釬風(fēng)蝕值小于”的概率;

)若一個插釬的風(fēng)蝕值小于,則該數(shù)據(jù)要標(biāo)記“”,否則不標(biāo)記根據(jù)以上直方圖,完成列聯(lián)表:

標(biāo)記

不標(biāo)記

合計

坡腰

坡頂

合計

并判斷是否有的把握認(rèn)為數(shù)據(jù)標(biāo)記“”與沙丘上插釬所布設(shè)的位置有關(guān)?

附:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某廠根據(jù)市場需求開發(fā)三角花籃支架(如圖),上面為花籃,支架由三根細(xì)鋼管組成,考慮到鋼管的受力和花籃質(zhì)量等因素,設(shè)計支架應(yīng)滿足:①三根細(xì)鋼管長均為1米(粗細(xì)忽略不計),且與地面所成的角均為;②架面與架底平行,且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形;③三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點分三根細(xì)鋼管上、下兩段之比均為.定義:架面與架底的距離為支架高度,架底三角形的面積與支架高度的乘積為支架需要空間”.

1)當(dāng)時,求支架高度;

2)求支架需要空間的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三棱錐中,二面角、的大小均等于,設(shè)三棱錐外接球的球心為,直線與平面交于點.則

A.B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市房管局為了了解該市市民20181月至20191月期間購買二手房情況,首先隨機抽樣其中200名購房者,并對其購房面積(單位:萬元/平方米,進行了一次調(diào)查統(tǒng)計,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖,接著調(diào)查了該市20181月至20191月期間當(dāng)月在售二手房均價(單位:萬元平方米),制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1-13分別對應(yīng)20181月至20191月).

1)試估計該市市民的平均購房面積.

2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于40位市民中隨機取4人,再從這4人中隨機抽取2人,求這2人的購房面積恰好有一人在的概率.

3)根據(jù)散點圖選兩個模型進行擬合,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程,分別為,并得到一些統(tǒng)計量的值,如下表所示:

0.000591

0.000164

0.00050

請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測20196月份的二手房購房均價(精確到0.001./span>

參考數(shù)據(jù):,,,,,,

參考公式:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是某學(xué)校研究性課題《什么樣的活動最能促進同學(xué)們進行垃圾分類》向題的統(tǒng)計圖(每個受訪者都只能在問卷的5個活動中選擇一個),以下結(jié)論錯誤的是( 。

A. 回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是100

B. 回答該問卷的受訪者中,選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多

C. 回答該問卷的受訪者中,選擇“學(xué)校團委會宣傳”的人數(shù)最少

D. 回答該問卷的受訪者中,選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學(xué)校要求”的少8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),給出下列四個結(jié)論:

①函數(shù)的最小正周期是

②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù);

③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;

④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到其中所有正確結(jié)論的編號是(

A.①②B.①③C.①②③D.①③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為F1F2,右頂點為A,P為橢圓C上任意一點.已知的最大值為3,最小值為2.

1)求橢圓C的方程;

2)若直線ly=kx+m與橢圓C相交于MN兩點(MN不是左右頂點),且以MN為直徑的圓過點A.求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點A為曲線上的動點,點B在線段OA的延長線上,且滿足,點B的軌跡為

(1)求的極坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點C的極坐標(biāo)為(2,0),求△ABC面積的最小值.

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