【題目】某廠根據(jù)市場需求開發(fā)三角花籃支架（如圖），上面為花籃，支架由三根細(xì)鋼管組成，考慮到鋼管的受力和花籃質(zhì)量等因素，設(shè)計(jì)支架應(yīng)滿足：①三根細(xì)鋼管長均為1米（粗細(xì)忽略不計(jì)），且與地面所成的角均為；②架面與架底平行，且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形；③三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)分三根細(xì)鋼管上、下兩段之比均為.定義：架面與架底的距離為“支架高度”，架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.

（1）當(dāng)時(shí)，求“支架高度”；

（2）求“支架需要空間”的最大值.

【答案】（1）米.（2）立方米.

【解析】

（1）根據(jù)題意與地面所成的角為，米，從而.

（2）過作平面，垂足為，且，表示出，進(jìn)而，，令，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.

解：（1）因?yàn)榧苊媾c架底平行，且與地面所成的角為，米，

所以“支架高度”（米）.

（2）過作平面，垂足為.

又平面，所以，

又與地面所成的角為，所以，

同理，

所以為等邊三角形外心，也為其重心，

所以，

，

記“支架需要空間”為，則，.

令，則.

所以，.

又，

則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，（立方米）.

答：（1）當(dāng)時(shí)，“支架高度”為米；

（2）“支架需要空間”的最大值為立方米.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，二面角S-BD-C的余弦值為．

（I）證明：平面平面SBD；

（Ⅱ）求二面角A-SD-C的余弦值．

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【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，側(cè)面SCD為鈍角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，點(diǎn)M是SA的中點(diǎn)，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝ADBC＝a．

（1）求證：平面MBD⊥平面SCD；

（2）若∠SDC＝120°，求三棱錐C﹣MBD的體積．

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【題目】已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.

（1）求圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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【題目】在四棱錐P-ABCD，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面平面，于點(diǎn)O，，點(diǎn)E在棱PB上，.

（1）當(dāng)時(shí)，求直線AE與平面PCD所成角的正弦值；

（2）若二面角B-PC-D的余弦值為，求PO的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果對某對象連續(xù)實(shí)施兩次變換后的結(jié)果就是變換前的對象，那么我們稱這種變換為“回歸”變換.如：對任意一個(gè)實(shí)數(shù)，變換：取其相反數(shù).因?yàn)橄喾磾?shù)的相反數(shù)是它本身，所以變換“取實(shí)數(shù)的相反數(shù)”是一種“回歸”變換.有下列3種變換：

①對，變換：求集合A的補(bǔ)集；

②對任意，變換：求z的共軛復(fù)數(shù)；

③對任意，變換：（k，b均為非零實(shí)數(shù)）.

其中是“回歸”變換的是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且的面積為1．

（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級視力在5.0以上的人數(shù)；

（2）為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對年級不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？

（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，在這8人中任取2人，記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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