【題目】某廠根據(jù)市場需求開發(fā)三角花籃支架（如圖），上面為花籃，支架由三根細鋼管組成，考慮到鋼管的受力和花籃質(zhì)量等因素，設計支架應滿足：①三根細鋼管長均為1米（粗細忽略不計），且與地面所成的角均為；②架面與架底平行，且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形；③三根細鋼管相交處的節(jié)點分三根細鋼管上、下兩段之比均為.定義：架面與架底的距離為“支架高度”，架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.

（1）當時，求“支架高度”；

（2）求“支架需要空間”的最大值.

【答案】（1）米.（2）立方米.

【解析】

（1）根據(jù)題意與地面所成的角為，米，從而.

（2）過作平面，垂足為，且，表示出，進而，，令，利用導數(shù)即可求解.

解：（1）因為架面與架底平行，且與地面所成的角為，米，

所以“支架高度”（米）.

（2）過作平面，垂足為.

又平面，所以，

又與地面所成的角為，所以，

同理，

所以為等邊三角形外心，也為其重心，

所以，

，

記“支架需要空間”為，則，.

令，則.

所以，.

又，

則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.

所以當時，（立方米）.

答：（1）當時，“支架高度”為米；

（2）“支架需要空間”的最大值為立方米.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，二面角S-BD-C的余弦值為．

（I）證明：平面平面SBD；

（Ⅱ）求二面角A-SD-C的余弦值．

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（1）求證：平面MBD⊥平面SCD；

（2）若∠SDC＝120°，求三棱錐C﹣MBD的體積．

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【題目】已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.

（1）求圓的方程；

（2）過點的直線與圓交于，兩點（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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【題目】在四棱錐P-ABCD，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面平面，于點O，，點E在棱PB上，.

（1）當時，求直線AE與平面PCD所成角的正弦值；

（2）若二面角B-PC-D的余弦值為，求PO的長.

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【題目】如果對某對象連續(xù)實施兩次變換后的結(jié)果就是變換前的對象，那么我們稱這種變換為“回歸”變換.如：對任意一個實數(shù)，變換：取其相反數(shù).因為相反數(shù)的相反數(shù)是它本身，所以變換“取實數(shù)的相反數(shù)”是一種“回歸”變換.有下列3種變換：

①對，變換：求集合A的補集；

②對任意，變換：求z的共軛復數(shù)；

③對任意，變換：（k，b均為非零實數(shù)）.

其中是“回歸”變換的是______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點在底面上的射影為底面的中心點，點在棱上，且的面積為1．

（1）若點是的中點，求證：平面平面；

（2）在棱上是否存在一點使得二面角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．

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【題目】眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學生視力的效果，在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)；

（2）為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系？

（3）在（2）中調(diào)查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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