Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b-c=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用余弦定理，即可求出角A的值；
（2）利用三角形的面積公式，結(jié)合題意，即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）△ABC中，由c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²
得2ac•cosB-bc=2（a²-b²），
由余弦定理得2ac•cosB=a²+c²-b²，
代入上式化簡(jiǎn)得b²+c²-a²=bc，
又b²+c²-a²=2bc•cosA=bc，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）得，b²+c²-a²=bc，
因?yàn)閍=$\sqrt{3}$，所以b²+c²-3=bc，
又b-c=1，
即（b-c）²=b²+c²-2bc=3-bc=1，
解得bc=2；
所以△ABC的面積為
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角形面積公式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．