Question

定義：若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項公式及T_n；
（3）記b_n=log (2an+1)T_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n＞2013的n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），可得{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）由（1）可求lga_n，進(jìn)而可求a_n，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求lgT_n，進(jìn)而可求T_n
（3）由T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）•…•（2a_n+1），兩邊去對數(shù)求出T_n，進(jìn)而求得b_n，s_n，解不等式即得結(jié)論．

解答： 解：（1）由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．∴{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，
∴l(xiāng)g（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1）．
∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，
∴{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴l(xiāng)g（2a_n+1）=2^n-1?lg5，
∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

（52n-1-1）
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=52n-1；
（3）b_n=log (2an+1)T_n=2-

2

2n

，
∴S_n=2n-2+

2

2n

．
∴2n-2+

2

2n

＞2013，
故n的最小值為1008．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，分組求和的應(yīng)用，屬于知識的綜合應(yīng)用．