Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B是四條直線x=±a，y=±b所圍成的兩個頂點，P是橢圓C上的任意一點，若$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2$\sqrt{3}$，列出方程組，能求出橢圓方程．
（2）由已得A（2，1），B（-2，1），設(shè)P（x₀，y₀），由此能證明點Q（m，n）在定圓x²+y²=$\frac{1}{2}$運動．

解答 （1）解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）證明：∵A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點，
∴A（2，1），B（-2，1），設(shè)P（x₀，y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1．由$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2（m-n）}\\{{y}_{0}=m+n}\end{array}\right.$，
∴$\frac{4（m-n）^{2}}{4}$+（m+n）²=1，故點Q（m，n）在定圓x²+y²=$\frac{1}{2}$運動．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查動點在定圓上運動的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想計算能力．