Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)到直線x-y+3$\sqrt{2}$=0的距離為5，且橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)與一個(gè)短軸端點(diǎn)間的距離為$\sqrt{10}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，連接橢圓短軸端點(diǎn)A與橢圓上不同于A的兩點(diǎn)M，N，與以橢圓短軸為直徑的圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ恰好經(jīng)過圓心O，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）記橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），從而可得c=2$\sqrt{2}$，從而求橢圓C的方程；
（2）由題意知A（0，-1），AM⊥AN，而直線AN的方程為y=kx-1（k＞0），與橢圓聯(lián)立化簡(jiǎn)解得x=0或x=$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，從而可得|AN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，|AM|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，從而化簡(jiǎn)可得S=$\frac{1}{2}$|AN|•|AM|=162•$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，再令f（k）=$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答 解：（1）記橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），
則$\frac{|c+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5，
解得，c=2$\sqrt{2}$，
又∵$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴a=3，b=1；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）由題意知，A（0，-1），AM⊥AN，
設(shè)直線AN的方程為y=kx-1（k＞0）；與$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，（9k²+1）x²-18kx=0，
解得，x=0或x=$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，
設(shè)直線AM的方程為y=-$\frac{1}{k}$x-1（k＞0）；
同理可得，x=0或x=-$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，
故|AN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，|AM|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AN|•|AM|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$=162•$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，
令f（k）=$\frac{k（{k}^{2}+1）}{（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）}$，
則f′（k）=$\frac{（3{k}^{2}+1）（9{k}^{2}+1）（9+{k}^{2}）-（{k}^{3}+k）（36{k}^{3}+164k）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{（1-{k}^{2}）（9{k}^{4}-46{k}^{2}+9）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{9（1-{k}^{2}）（{k}^{2}-\frac{23-8\sqrt{7}}{9}）（{k}^{2}-\frac{23+8\sqrt{7}}{9}）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$
=$\frac{-9（k+1）（k+\frac{4-\sqrt{7}}{3}）（k+\frac{4+\sqrt{7}}{3}）（k-\frac{4-\sqrt{7}}{3}）（k-1）（k-\frac{4+\sqrt{7}}{3}）}{（9{k}^{2}+1）^{2}（9+{k}^{2}）^{2}}$，
故f（k）在（0，$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，1）上是減函數(shù)，在（1，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，+∞）上是減函數(shù)；
而當(dāng)k=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$時(shí)，S=162•$\frac{\frac{4-\sqrt{7}}{3}（\frac{23-8\sqrt{7}}{9}+1）}{（9•\frac{23-8\sqrt{7}}{9}+1）（9+\frac{23-8\sqrt{7}}{9}）}$=$\frac{27}{8}$，
當(dāng)k=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$時(shí)，S=162•$\frac{\frac{4+\sqrt{7}}{3}（\frac{23+8\sqrt{7}}{9}+1）}{（23+8\sqrt{7}+1）（9+\frac{23+8\sqrt{7}}{9}）}$=$\frac{27}{8}$，
故△AMN面積的最大值為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．