Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=19公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁•a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁•（a₁+4d），與a₁₀=19=a₁+9d，聯(lián)立解出即可得出．
（2）b_n=a_n2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁•（a₁+4d），
∵a₁₀=19=a₁+9d，聯(lián)立解得：a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=a_n2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴${S_n}=（{2n-3}）{2^{n+1}}+6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．