Question

14．已知1≤x≤100，xy²=100，u=（lgx）²+a（lgy）²（a是常數(shù)，a∈R）
①寫出u關(guān)于y的函數(shù)解析式．
②求u的最大值與最小值．

Answer 1

分析 ①化簡得x=$\frac{100}{{y}^{2}}$，（1≤y≤10）；從而求得u=（lgx）²+a（lgy）²=（lg$\frac{100}{{y}^{2}}$）²+a（lgy）²=（4+a）（lgy）²-8lgy+4，（1≤y≤10）；
②令lgy=z，則0≤z≤1；從而可得u=（4+a）z²-8z+4，（0≤z≤1）；再討論確定函數(shù)的最值．

解答 解：①∵xy²=100，∴x=$\frac{100}{{y}^{2}}$，（1≤y≤10）；
∴u=（lgx）²+a（lgy）²
=（lg$\frac{100}{{y}^{2}}$）²+a（lgy）²
=（2-2lgy）²+a（lgy）²
=（4+a）（lgy）²-8lgy+4，（1≤y≤10）；
②令lgy=z，則0≤z≤1；
u=（4+a）z²-8z+4，（0≤z≤1）；
當(dāng)4+a=0，即a=-4時(shí)，
u=-8z+4在[0，1]上是減函數(shù)，
故u的最大值為4，最小值為-4；
當(dāng)4+a＜0，即a＜-4時(shí)，
u=（4+a）z²-8z+4在[0，1]上是減函數(shù)，
故u的最大值為4，最小值為4+a-8+4=a；
當(dāng)4+a＞0，即a＞-4時(shí)，
u=（4+a）z²-8z+4的圖象的對稱軸為z=$\frac{4}{4+a}$，
當(dāng)0＜$\frac{4}{4+a}$≤$\frac{1}{2}$，即a≥4時(shí)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
u的最大值為u（1）=a，最小值為u（$\frac{4}{4+a}$）=$\frac{4a}{4+a}$；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜$\frac{4}{4+a}$＜1，即0＜a＜4時(shí)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
u的最大值為u（0）=4，最小值為u（$\frac{4}{4+a}$）=$\frac{4a}{4+a}$；
當(dāng)$\frac{4}{4+a}$≥1，即-4＜a≤0時(shí)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
u的最大值為u（0）=4，最小值為u（1）=a；
綜上所述，
當(dāng)a≤0時(shí)，u的最大值為4，最小值為a；
當(dāng)0＜a≤4時(shí)，u的最大值為4，最小值為$\frac{4a}{4+a}$；
當(dāng)a＞4時(shí)，u的最大值為a，最小值為$\frac{4a}{4+a}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．