Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1
（I）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；
（Ⅱ）求展開式中含x 

3

2

的項(xiàng)；
（Ⅲ）求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)和展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（I）由展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1，求得n=8．再令x=1得各項(xiàng)系數(shù)的和．
（II）在通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為

3

2

，求得r的值，即可得到展開式中含 x

3

2

 的項(xiàng)．
（III）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大，由

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，由此可得二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)和展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（I）由題可知，第5項(xiàng)系數(shù)為：C_n⁴•（-2）⁴，
第3項(xiàng)系數(shù)為C_n²•（-2）²，∴C_n⁴•（-2）⁴=10C_n²•（-2）²，∴n=8．
 令x=1得各項(xiàng)系數(shù)的和為：（1-2）⁸=1．
（II）通項(xiàng)為：T_r+1=C₈^r•（

x

）^8-r•（-

2

x2

）^r=C₈^r•（-2）^r•x

8-r

2

-2r，
令

8-r

2

-2r=

3

2

，∴r=1，∴展開式中含 x

3

2

 的項(xiàng)為T₂=-16x

3

2

．
（III）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大，則有

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，
∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T₇=1792•

1

x11

由n=8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大T₅=

C

4 8

•（-2）⁴•x^-6=1120•

1

x6

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．