Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10：1
（I）求展開式中各項系數(shù)的和；
（Ⅱ）求展開式中含x 

3

2

的項；
（Ⅲ）求二項式系數(shù)最大項和展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（I）由展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10：1，求得n=8．再令x=1得各項系數(shù)的和．
（II）在通項公式中，令x的冪指數(shù)為

3

2

，求得r的值，即可得到展開式中含 x

3

2

 的項．
（III）設第r+1項的系數(shù)絕對值最大，由

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，由此可得二項式系數(shù)最大項和展開式中系數(shù)最大的項．

解答：解：（I）由題可知，第5項系數(shù)為：C_n⁴•（-2）⁴，
第3項系數(shù)為C_n²•（-2）²，∴C_n⁴•（-2）⁴=10C_n²•（-2）²，∴n=8．
 令x=1得各項系數(shù)的和為：（1-2）⁸=1．
（II）通項為：T_r+1=C₈^r•（

x

）^8-r•（-

2

x2

）^r=C₈^r•（-2）^r•x

8-r

2

-2r，
令

8-r

2

-2r=

3

2

，∴r=1，∴展開式中含 x

3

2

 的項為T₂=-16x

3

2

．
（III）設第r+1項的系數(shù)絕對值最大，則有

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，
∴系數(shù)最大的項為T₇=1792•

1

x11

由n=8知第5項二項式系數(shù)最大T₅=

C

4 8

•（-2）⁴•x^-6=1120•

1

x6

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質，屬于中檔題．