Question

8．已知直線l_n的斜率為k，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P_n（n，n²），l_n與l_n+1的距離為d_n，若數(shù)列{d_n}是無(wú)窮等差數(shù)列，則k的取值范圍是k≤3．

Answer 1

分析 求出兩條平行直線間的距離d_n=$\frac{|（n+1）^{2}-k（n+1）-{n}^{2}+kn|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2n+1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，該式的分母為常數(shù)，要使該數(shù)列為等差數(shù)列，則分子內(nèi)的表示式2n+1-k不能變號(hào)（不能由負(fù)變正，也不能由正變負(fù)），只有不變號(hào)，才能成為等差數(shù)列，即可得出結(jié)論．

解答 解：直線l_n：kx-y+n²-kn=0，
直線l_n+1：kx-y+（n+1）²-k（n+1）=0，
這兩條平行直線間的距離d_n=$\frac{|（n+1）^{2}-k（n+1）-{n}^{2}+kn|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2n+1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
該式的分母為常數(shù)，要使該數(shù)列為等差數(shù)列，
則分子內(nèi)的表示式2n+1-k不能變號(hào)（不能由負(fù)變正，也不能由正變負(fù)），只有不變號(hào)，才能成為等差數(shù)列，
因此，當(dāng)n=1時(shí)，（2n+1-k）_min=3-k≥0，解得k≤3．
故答案為：k≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條平行直線間的距離，考查等差數(shù)列的判斷，屬于中檔題．