Question

19．已知f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若x∈[0，n]（n∈N^*）時(shí)，f（x）的值域?yàn)锳_n，則A
₂={0，1，4}．記a_n=|A_n|，其中|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，則a_n=$\frac{1}{2}$（n²-n+4）．

Answer 1

分析 （1）由題意知，n=2，則[0，2]=[0，1）∪[1，2]，求出每一個(gè)區(qū)間的函數(shù)值，即可得到答案；
（2）根據(jù)[x]的定義，分別進(jìn)行討論即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意知，n=2，則[0，2]=[0，1）∪[1，2]
當(dāng)x∈[0，1），[x[x]]=[x•0]=0；
當(dāng)x∈[1，2），[x[x]]=[x]=1，
當(dāng)x=2，[x[x]]=[2x]=4，
故f（x）的值域?yàn)锳₂={0，1，4}，
故答案為：{0，1，4}
（2）∵[0，n）=[0，1）∪[1，2）∪[2，3）∪…[n-1，n），
當(dāng)x∈[0，1），[x[x]]=[x•0]=0，只有1個(gè)，
當(dāng)x∈[1，2），[x[x]]=[x]=1，只有1個(gè)，
當(dāng)x∈[2，3），[x[x]]=[2x]∈{4，5}，有2個(gè)，
當(dāng)x∈[3，4），[x[x]]=[3x]∈{9，10，11}，有3個(gè)，
…
當(dāng)x∈[n-1，n），[x[x]]=[（n-1）x]∈{（n-1）²，（n-1）²+1，（n-1）²+2，…，n（n-1）-1}，
有n（n-1）-（n-1）²=n-1個(gè)，
∴所有A中的元素個(gè)數(shù)為1+1+2+3+4+…+（n-1）=$\frac{1}{2}$（n²-n+2），
又當(dāng)x=n時(shí)，[x[x]]=[n²]=n²，有1個(gè)，
故共有$\frac{1}{2}$（n²-n+2）+1=$\frac{1}{2}$（n²-n+4），
故答案為：$\frac{1}{2}$（n²-n+4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與集合有關(guān)的新定義題，根據(jù)條件分別求出對(duì)應(yīng)范圍的個(gè)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)