Question

12．已知A_n⁴=24C_n⁶，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，則n=10，a₁+a₂+a₃+…+a_n=0．

Answer 1

分析 根據(jù)A_n⁴=24C_n⁶，求得n=10，可得（2x-3）¹⁰═a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，令x=1，可得a₀=1； 令x=2，可得 1=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n ，從而求得 a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

解答 解：∵A_n⁴=24C_n⁶，即n（n-1）（n-2）（n-3）=24•$\frac{n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）（n-5）}{6!}$，
∴n=10．
∵（2x-3）ⁿ=（2x-3）¹⁰═a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，
令x=1，可得a₀=1； 令x=2，可得 1=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n ，∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=0，
故答案為：10；   0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于中檔題．