Question

2．已知銳角三角形的邊長分別2、3、x，則x的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$）
• B． （1，5）
• C． （1，$\sqrt{5}$）
• D． （$\sqrt{13}$，5）

Answer 1

分析 由已知可得三角形的三個(gè)角都為銳角，得到三銳角的余弦值也為正值，分別設(shè)出3和x所對的角為α和β，利用余弦定理表示出兩角的余弦，因?yàn)棣梁挺露紴殇J角，得到其值大于0，則分別令余弦值即可列出關(guān)于x的兩個(gè)不等式，根據(jù)三角形的邊長大于0，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的兩個(gè)一元二次不等式，分別求出兩不等式的解集，取兩解集的交集即為x的取值范圍．

解答 解：∵三角形為銳角三角形，
∴三角形的三個(gè)內(nèi)角都為銳角，
則設(shè)邊長為3所對的銳角為α，根據(jù)余弦定理得：cosα=$\frac{{2}^{2}+{x}^{2}-{3}^{2}}{4x}$＞0，
即x²＞5，解得x＞$\sqrt{5}$或x＜-$\sqrt{5}$（舍去）；
設(shè)邊長為x所對的銳角為β，根據(jù)余弦定理得：cosβ=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{x}^{2}}{12}$＞0，
即x²＜13，解得0＜x＜$\sqrt{13}$，
則x的取值范圍是$\sqrt{5}$＜x＜$\sqrt{13}$．
故選：A．

點(diǎn)評 此題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，熟練運(yùn)用余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．