Question

3．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的動點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AC=1，BC=2，AA₁=4．當(dāng)E為CC₁中點(diǎn)時(shí)，
（1）標(biāo)出所有點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求異面直線AE與CF所成角的余弦值；
（3）求面CFB₁，AB₁E的法向量．

Answer 1

分析 （1）可分別以CA，CB，CC₁三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知的邊的長度，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）求出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$的坐標(biāo)，然后求出$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞$，從而得出異面直線AE與CF所成角的余弦值；
（3）先求出$\overrightarrow{C{B}_{1}}$的坐標(biāo)，可設(shè)平面CFB₁的法向量為$\overrightarrow{m}$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$即可得出法向量$\overrightarrow{m}$，同樣的方法可求出平面AB₁E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)條件知，CA，CB，CC₁三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則可確定各點(diǎn)坐標(biāo)：
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}，1，0$），A₁（1，0，4），B₁（0，2，4），C₁（0，0，4），E（0，0，2）；
（2）$\overrightarrow{AE}=（-1，0，2），\overrightarrow{CF}=（\frac{1}{2}，1，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{5}•\frac{\sqrt{5}}{2}}=-\frac{1}{5}$；
∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$；
（3）$\overrightarrow{C{B}_{1}}=（0，2，4）$；
設(shè)平面CFB₁的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=2{y}_{1}+4{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取y₁=2，則x₁=-4，z₁=-1，∴$\overrightarrow{m}=（-4，2，-1）$；
即平面CFB₁的法向量為（-4，2，-1）；
同理，設(shè)平面AB₁E的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（-1，2，4）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，0，2）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-{x}_{2}+2{y}_{2}+4{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-{x}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$；
取z₂=1，則$\overrightarrow{n}=（2，-1，1）$；
即平面AB₁E的法向量為（2，-1，1）．

點(diǎn)評 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角，及平面法向量的方法，線面垂直的概念，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，要弄清異面直線所成角和異面直線的方向向量夾角的關(guān)系，以及平面法向量的概念及求法．