Question

如圖所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．
（1）求證：AF∥平面CDE；
（2）求平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值；
（3）求直線EF與平面ADE所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：證明DC⊥平面BCEF，以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）

CB

為平面CDE的一個法向量，證明AF∥平面CDE，只需證明

AF

•

CB

=0×2+2×0+(-4)×0=0；
（2）求出平面ADE的一個法向量、平面BCEF一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值；
（3）求出平面ADE一個法向量為

n1

=(0，1，1)，

EF

=(2，-2，0)，利用向量的夾角公式，即可求直線EF與平面ADE所成角的余弦值．

解答： （1）證明：∵四邊形BCEF為直角梯形，四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥CE，BC⊥CD，
又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF=BC，
∴DC⊥平面BCEF．
以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo)：
A（2，0，4），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F(xiàn)（2，2，0），
則

AF

=(0，2，-4)，

CB

=(2，0，0)．      …（2分）
∵BC⊥CD，BC⊥CE，
∴

CB

為平面CDE的一個法向量．
又∵

AF

•

CB

=0×2+2×0+(-4)×0=0，
∴AF∥平面CDE．          …（4分）
（2）解：設(shè)平面ADE的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，則

AD • n1 =0 DE • n1 =0.

∵

AD

=(-2，0，0)，

DE

=(0，4，-4)，
∴

-2x1=0 4y1-4z1=0

，取z₁=1，得

n1

=(0，1，1)．   …（6分）
∵DC⊥平面BCEF，∴平面BCEF一個法向量為

CD

=(0，0，4)，
設(shè)平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的大小為α，
則cosα=|

CD • n1

| CD |•| n1 |

|=

4

4× 2

=

2

2

．
因此，平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值為

2

2

． …（9分）
（3）解：根據(jù)（2）知平面ADE一個法向量為

n1

=(0，1，1)，
∵

EF

=(2，-2，0)，
∴cos＜

EF

，

n1

＞=

EF • n1

| EF |•| n1 |

=

-2

2 2 × 2

=-

1

2

，…（12分）
設(shè)直線EF與平面ADE所成角為θ，則cosθ=|sin＜

EF

，

n1

＞|=

3

2

．
因此，直線EF與平面ADE所成角的余弦值為

3

2

．  …（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角及三角函數(shù)及空間坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．