Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2x+1）e^x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）定義：若函數(shù)h（x）在區(qū)間[s，t]（s＜t）上的取值范圍為[s，t]，則稱區(qū)間[s，t]為函數(shù)h（x）的“域同區(qū)間”．試問函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區(qū)間”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的正負性，來求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）構(gòu)造新的函數(shù)，利用二次求導來判斷原函數(shù)的單調(diào)性，再由特殊值即可判斷函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：（1）因為f（x）=（x²-2x+1）e^x，
所以f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x=（x²-1）e^x=（x+1）（x-1）e^x．
當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）．
當-1＜x＜1時，f'（x）＜0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）在（1，+∞）上存在“域同區(qū)間”[s，t]（1＜s＜t），
由（1）知函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以

f(s)=s f(t)=t

即

(s-1)2•es=s (t-1)2•et=t

也就是方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實根．
設(shè)g（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），則g'（x）=（x²-1）e^x-1．
設(shè)h（x）=g'（x）=（x²-1）e^x-1，則h'（x）=（x²+2x-1）e^x．
因為在（1，+∞）上有h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因為h（1）=-1＜0，h（2）=3e²-1＞0，
即存在唯一的x₀∈（1，2），使得h（x₀）=0．
當x∈（1，x₀）時，h（x）=g'（x）＜0，即函數(shù)g（x）在（1，x₀）上是減函數(shù)；
當x∈（x₀，+∞）時，h（x）=g'（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（x₀，+∞）上是增函數(shù)．
因為g（1）=-1＜0，g（x₀）＜g（1）＜0，g（2）=e²-2＞0，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個零點．
這與方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的相異實根相矛盾，所以假設(shè)不成立．
所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上不存在“域同區(qū)間”．
故答案為：（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上不存在“域同區(qū)間”．

點評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的零點等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力、抽象概括能力與創(chuàng)新意識．