Question

已知（ax+b）²ⁿ=a_2nx²ⁿ+a_2n-1x^2n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀（n∈N^*，常數(shù)a＞b＞0）．設(shè)T_n=a₀+a₂+…+a_2n，R_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，則下列關(guān)于正整數(shù)n的不等式中，解集是無限集的是（　�。�

• A、T_n＜R_n
• B、T_n＞1.1R_n
• C、R_n＜0.9T_n
• D、R_n＞0.99T_n

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專題：二項(xiàng)式定理

分析：通過給x賦值，求得T_n 和R_n ，由a＞b＞0，可得T_n＞R_n＞0，故排除A．求得

lim

n→∞

Tn

Rn

=1，由極限的保號(hào)性可得，B、C均為有限解，D有無窮解，從而得出結(jié)論．

解答： 解：在（ax+b）²ⁿ=a_2nx²ⁿ+a_2n-1x^2n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀（n∈N^*，常數(shù)a＞b＞0）中，
令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1 +a_n=（a+b）²ⁿ  ①，
令x=-1，可得得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1 +a_2n=（-a+b）²ⁿ  ②．
由①②求得 T_n=a₀+a₂+…+a_2n =

(a+b)2n+(-a+b)2n

2

，R_n=a₁+a₃+…+a_2n-1=

(a+b)2n-(-a+b)2n

2

．
由a＞b＞0，可得T_n＞R_n＞0，故排除A．
由于

lim

n→∞

Tn

Rn

=

lim

n→∞

(a+b)2n+(a-b)2n

(a+b)2n-(a-b)2n

=

lim

n→∞

1+( a-b a+b )2n

1-( a-b a+b )2n

=

1+0

1-0

=1，
由極限的保號(hào)性可得，B、C均為有限解，D有無窮解，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，極限的保號(hào)性，屬于基礎(chǔ)題．