Question

10．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程是ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）寫出曲線C的普通方程，直線l的直角坐標方程；
（2）設(shè)P為曲線C上任意一點，直線l和曲線C交于A，B兩點，求|PA|²+|PB|²+|PO|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}cosθ}\\{y-1=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，平方作和即可得到圓的普通方程；由ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$展開兩角差的余弦，結(jié)合x=ρcosθ，y=ρsinθ求得直線l的直角坐標方程；
（2）直線方程和圓的方程解得A（2，0），B（0，2），設(shè)P（$1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα$），代入|PA|²+|PB|²+|PO|²，得到|PA|²+|PB|²+|PO|² =$12+4sin（α+\frac{π}{4}）$，則|PA|²+|PB|²+|PO|²的取值范圍可求．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}cosθ}\\{y-1=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，
平方作和得：（x-1）²+（y-1）²=2；
由ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，得$ρcosθcos\frac{π}{4}+ρsinθsin\frac{π}{4}=\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=\sqrt{2}$，x+y-2=0；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=2}\end{array}\right.$，解得A（2，0），B（0，2），
又O（0，0），設(shè)P（$1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα$），
則|PA|²+|PB|²+|PO|²
=$（1+\sqrt{2}cosα）^{2}+（1+\sqrt{2}sinα）^{2}$+$（\sqrt{2}cosα-1）^{2}+（1+\sqrt{2}sinα）^{2}$+$（1+\sqrt{2}cosα）^{2}+（\sqrt{2}sinα-1）^{2}$
=$12+2\sqrt{2}（sinα+cosα）$=$12+4sin（α+\frac{π}{4}）$．
∴|PA|²+|PB|²+|PO|²的最小值為8，最大值為16．
即|PA|²+|PB|²+|PO|²的取值范圍是[8，16]．

點評 本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了極坐標方程化直角坐標方程，訓(xùn)練了參數(shù)方程在求解最值中的運用，是中檔題．