Question

15．設函數f（x）=（$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$）ⁿ，其中n=3${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，則f（x）的展開式中x²的系數為15．

Answer 1

分析 先由定積分的運算可得n的值，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出r的值，即可求得展開式中x²的系數．

解答 解：∵n=3${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=3sinx|${\;}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=3（sin$\frac{π}{2}$-sin（-$\frac{π}{2}$））=6，
（$\frac{1}{2}$x-$\sqrt{2}$）⁶的展開式的通項公式為 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（$\frac{1}{2}$x）^6-r•（-$\sqrt{2}$）^r，
令6-r=2，解得 r=4，
∴展開式中x²的系數為：${C}_{6}^{4}$•$（\frac{1}{2}）^{2}•（-\sqrt{2}）^{4}$=15．
故答案為：15．

點評 本題主要考查定積分的運算，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．